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楼主: 缙云王旭龙

文理通,文序顺,文体齐,文韵谐的诗经作品

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 楼主| 发表于 2022-8-18 16:13:03 | 显示全部楼层
非常有趣的现象。终于发现一个奇妙的景观,展现出数字关系的神奇。把各组数字罗列后,相邻两个数字的【n³+n²】之差,就在数字的排列组合中展现了。
n³+n²=n×n×[n+1]
n×n×[n+1]  当n=1时
1×1×2,1三+1二=2

n×n×[n+1]  当n=2时
2×2×3,2³+2²=12

1×1×2=2
2×2×3=12

12-2=10

10这个差额,竟然就隐藏在
1×1×2
2×2×3 这两个因式里。

我发现:
1×1×2
2×2×3   式子中,先把上下对齐的三组两数相乘。然后将三个积相加。就是两式的差。
1×2+1×2+2×3
=2+2+6
=10

2×2×3=12
3×3×4=36【36-12=24】
2×3+2×3+3×4
=6+6+12
=24

3×3×4=36
4×4×5=80【80-36=44】
3×4+3×4+4×5
=12+12+20
=44

4×4×5=80
5×5×6=150【150-80=70】
4×5+4×5+5×6
=20+20+30
=70

5×5×6=150
6×6×7=252【252-150=102】
5×6+5×6+6×7
=30+30+42
=102

6×6×7=252
7×7×8=392【392-252=140】
6×7+6×7+7×8
=42+42+56
140

7×7×8=392
8×8×9=576【576-392=184】
7×8+7×8+8×9
56+56+72
184

8×8×9=576
9×9×10=810【810-576=234】
8×9+8×9+9×10
=72+72+90
=234

9×9×10=810
10×10×11=1100【1100-810=290】
9×10+9×10+10×11
=90+90+110
=290
,,,,,,,,,
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 楼主| 发表于 2022-8-18 19:38:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 缙云王旭龙 于 2022-8-18 19:47 编辑

整数数列中,任意一组相邻两数的3次幂值+2次幂值之和的数差求差公式:
【[n+1]³+[n+1]²】-【n³+n²】=
【[n+1]×[n+1]×[n+1+1]】-【n×n×[n+1]】=

[n+1]×n   +    [n+1]×n     +[n+1+1]×[n+1]

求差公式
【[n+1]³+[n+1]²】-【n³+n²】  =   2[n+1]×n   +   [n+1+1]×[n+1]

验算【1】
n=1,[n+1]=2
【[1+1]³+[1+1]²】-【1³+1²】  =   2[1+1]×1   +   [1+1+1]×[1+1]
【8+4】-【1+1】  =   4   +   3×2
10=10

验算【2】
n=2,[n+1]=3
【[n+1]³+[n+1]²】-【n³+n²】  =   2[n+1]×n   +   [n+1+1]×[n+1]
【[2+1]³+[2+1]²】-【2³+2²】  =   2[2+1]×2   +   [2+1+1]×[2+1]
【3³+3²】-【2³+2²】  =   2×3×2  +   4×3
36-12=12+12
24=24

验算【3】
n=3,[n+1]=4
【[n+1]³+[n+1]²】-【n³+n²】  =   2[n+1]×n   +   [n+1+1]×[n+1]
【4³+4²】-【3³+3²】  =   2[3+1]×3   +   [3+1+1]×[3+1]
80-36  =   24  +   20
44=44

验算【4】
n=4,[n+1]=5
【[n+1]³+[n+1]²】-【n³+n²】  =   2[n+1]×n   +   [n+1+1]×[n+1]
【[4+1]³+[4+1]²】-【4³+4²】  =   2[4+1]×4   +   [4+1+1]×[4+1]
【5³+5²】-【4³+4²】  =   2×5×4   +   6×5
150-80  =   40   +   30
70=70

验算【5】
n=5,[n+1]=6
【[n+1]³+[n+1]²】-【n³+n²】  =   2[n+1]×n   +   [n+1+1]×[n+1]
【[5+1]³+[5+1]²】-【5³+5²】  =   2[5+1]×5   +   [5+1+1]×[5+1]
【6³+6²】-【5³+5²】  =   2×6×5   +   7×6
【6³+6²】-【5³+5²】  =   2×6×5   +   7×6
252-150=60+42
102=102

验算【6】
n=6,[n+1]=7
【[n+1]³+[n+1]²】-【n³+n²】  =   2[n+1]×n   +   [n+1+1]×[n+1]
【[6+1]³+[6+1]²】-【6³+6²】  =   2[6+1]×6  +   [6+1+1]×[6+1]
【7³+7²】-【6³+6²】  =   2×7×6  +   8×7
392-252=84+56
140=140

验算【7】
n=7,[n+1]=8
【[n+1]³+[n+1]²】-【n³+7²】  =   2[n+1]×n   +   [n+1+1]×[n+1]
【[7+1]³+[7+1]²】-【7³+7²】  =   2[7+1]×7  +   [7+1+1]×[7+1]
【512+64】-【343+49】  =   112  +   72
184=184

,,,,,,根据我总结出来的【数首法则】,无须再多验算,整数数列中,任意一组相邻两数的3次幂值+2次幂值之和的数差求差公式:

【[n+1]³+[n+1]²】-【n³+n²】  =   2[n+1]×n   +   [n+1+1]×[n+1]

成立。

我已经不知道自己一共写了几个公式。

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 楼主| 发表于 2022-8-24 18:44:14 | 显示全部楼层
n[n+1][2n+1]÷6【别人写的】
只适用自然数列从1至n的若干个数的段落,可以求出自然数段各数2次幂值,1²+2²+3²+,,,,,n²的和。

依据上面的模式,我用5分钟时间,写出:求2²+4²+6²+8²+,,,,,,,+n[偶数]²。偶数数段各数2次幂值之和的求和公式:
n[n+2][2n+2]÷12
2²+4²=20
n=4
n[n+2][2n+2]÷12
4[4+2][2×4+2]÷12
24×10÷12=
240÷12=
20

2²+4²+6²=56
n=6
n[n+2][2n+2]÷12
6[6+2][2×6+2]÷12
48×14÷12=
672÷12=
56

偶数=整数×2


2²+4²+6²+8²=120
n=8
n[n+2][2n+2]÷12
8[8+2][2×8+2]÷12
80×18÷12=
1440÷12=
120


n[n+1][2n+1]÷6  【求1开始的整数数段各数2次幂值之和】别人写的
n[n+2][2n+2]÷12【求2开始的偶数数段各数2次幂值之和】我写的

依据别人的:n[n+1][2n+1]÷6  
我写出了偶数数段各数的2次幂值之和的求和公式:n[n+2][2n+2]÷12
之后就着手写奇数数段各数的2次幂值之和的求和公式。
开始写出的因式,符合1²+3²,放到1²+3²+5²就不行了。
符合1²+3²+5²的,放到1²+3²又不行了。
没找到问题的关键,才会这样东不成西不就。
于是我想,奇数数列是去掉偶数的数列,那么反映在【奇数数段各数的2次幂值之和】上的关键,是要在整数数列的2次幂值和的基础上,减去偶数2次幂值。
于是在早上上班前,我在n[n+1][2n+1]÷6中的【六倍值】n[n+1][2n+1]基础上,增加一个减项:-[n-1]
n[n+1]【[2n+1]-[n-1]】÷6
代入验算时,1²+3²行,1²+3²+5²也行。应该是对了。
慌忙上班去,等偷懒时再继续验算。

在偷懒验算的过程中,又发现一个奇妙现象。
n[n+1]【[2n+1]-[n-1]】÷6
n=3时,
3×[3+1]×【[2×3+1]-[3-1]】÷6
3×4×【7-2】÷6
3×4×5÷6
60÷6=10
1²+3²=10

n=5时
1²+3²+5²=1+25=35
5×6×7÷6
210÷6=35

n=7时
1²+3²+5²+7²=35+49=84
7×8×9÷6
504÷6=84

奇妙之处:
3×4×5÷6
5×6×7÷6
7×8×9÷6
于是公式可以写成:n[n+1][n+2]÷6
因为[2n+1]-[n-1]=n+2

这样
在别人的n[n+1][2n+1]÷6  【求1开始的整数数段各数2次幂值之和】
的开导下,我写出了:
n[n+2][2n+2]÷12【求2开始的偶数数段各数2次幂值之和】
n[n+1][n+2]÷6【求1开始的奇数数段各数2次幂值之和】

整数,n[n+1][2n+1]÷6
偶数,n[n+2][2n+2]÷12
奇数,n[n+1][n+2]÷6
三种数段各数的2次幂值之和的求和公式就齐全了。
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 楼主| 发表于 2022-8-28 19:50:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 缙云王旭龙 于 2022-8-28 19:58 编辑

下班路上想起:a+b,a²+b²,a³+b³,之间的三者关系,已经有了一种
m÷n+a×b=a²+b²
即:[a³+b³]÷[a+b]+a×b=a²+b²
还可怎么写。

于是晚饭后开始思考,写出:
[a³+b³] -【a²×[a-1]+b²×[b-1]】=a²+b²
验算:今天是农历8月初2。设a=8,b=2。
8²=64,8³=512,2²=4,2³=8,8³+2³=520,8²+2²=68
[a³+b³] -【a²×[a-1]+b²×[b-1]】=a²+b²
[8³+2³] -【8²×[8-1]+2²×[2-1]】=8²+2²
[512+8] -【64×7+4×1】=64+4
520-【448+4】=64+4
520-452=64+4
68=68

[a³+b³]÷2[a+b]-a×b=a+b
验算,同样设a=8,b=2。

[a³+b³]÷2[a+b]-a×b=a+b
[8³+2³]÷2[8+2]-8×2=8+2
[512+8]÷20-16=8+2
520÷20-16=8+2
26-16=8+2
10=10

[a³+b³]÷[a+b]+a×b-【a×[a-1]+b×[b-1]】=a+b
[8³+2³]÷[8+2]+8×2-【8×[8-1]+2×[2-1]】=8+2
520÷10+16-【56+2】=8+2
52+16-58=8+2
68-58=8+2
10=10

[a³+b³] -【a²×[a-1]+b²×[b-1]】-【a×[a-1]+b×[b-1]】=a+b
[8³+2³] -【8²×[8-1]+2²×[2-1]】-【8×[8-1]+2×[2-1]】=8+2
[512+8] -【64×7+4×1】-【56+2】=8+2
520-452-58=8+2
10=10


【[a²+b²]-a×b】×[a+b]=a³+b³
【[8²+2²]-8×2】×[8+2]=8³+2³
【[64+4]-16】×[8+2]=8³+2³
【68-16】×[8+2]=8³+2³
52×10=512+8
520=520

[a+b]×【[a²+b²]-a×b】=a³+b³
[8+2]×【[8²+2²]-8×2】=8³+2³
[8+2]×【[64+4]-16】=8³+2³
10×52=512+8
520=520

a+b,a²+b²,a³+b³,之间的三者关系:
[a³+b³]÷2[a+b]-a×b=a+b
[a³+b³]÷[a+b]+a×b-【a×[a-1]+b×[b-1]】=a+b
[a³+b³] -【a²×[a-1]+b²×[b-1]】-【a×[a-1]+b×[b-1]】=a+b

[a³+b³]÷[a+b]+a×b=a²+b²
[a³+b³] -【a²×[a-1]+b²×[b-1]】=a²+b²

【[a²+b²]-a×b】×[a+b]=a³+b³
[a+b]×【[a²+b²]-a×b】=a³+b³



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 楼主| 发表于 2022-8-29 19:05:57 | 显示全部楼层
a+a²+a³=a[a+a²+1]
验算:a=1
a+a²+a³=a[a+a²+1]
1+1²+1³=1[1+1²+1]
1+1²+1³=1[1+1+1]
1+1²+1³=1×3=3

a=2
a+a²+a³=a[a+a²+1]
2+2²+2³=2[2+2²+1]
2+4+8=2[2+4+1]
14=2×7=14

a=3
a+a²+a³=a[a+a²+1]
3+3²+3³=3[3+3²+1]
3+9+27=3[13]
39=39

a=4
a+a²+a³=a[a+a²+1]
4+4²+4³=4[4+4²+1]
4+16+64=4[21]
84=84

a=5
5+5²+5³=5[5+5²+1]
5+25+125=5[5+25+1]
155=5[31]=155

a=6
a+a²+a³=a[a+a²+1]
6+6²+6³=6[6+6²+1]
6+36+216=6[6+36+1]
258=6[43]=258
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